2018 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设平面区域

D

由曲线

y = 3 (1 - x^{2})

与直线

y = 3 x

及

y

轴围成，计算二重积分

\iint_{D} x^{2} d x d y

。

答案

$\frac{3}{32} (π - 2)$

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曲线为椭圆 $x^{2} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 的上半支，与 $y = 3 x$ 交于 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 。以 $y$ 轴为第三条边界的区域为 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ ， $3 x \leq y \leq 3 (1 - x^{2})$ 。
令 $x = r cos θ$ ， $y = 3 r sin θ$ ，雅可比为 $3 r$ 。椭圆化为 $r = 1$ ，直线化为 $tan θ = 1$ ， $y$ 轴对应 $θ = \frac{π}{2}$ ，故 $\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ， $0 \leq r \leq 1$ 。这里 $θ$ 是伸缩坐标的参数，不是原平面的几何极角。

I = 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r = \frac{3}{4} [\frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = \frac{3}{4} (\frac{π}{8} - \frac{1}{4}) = \frac{3}{32} (π - 2) .

直接用直角坐标先对 $y$ 积分，也有

I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} (3 (1 - x^{2}) - 3 x) d x = 3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} 1 - x^{2} d x - 3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x .

后一个积分连同系数为 $\frac{3}{16}$ 。前一个积分令 $x = sin t$ ， $0 \leq t \leq \frac{π}{4}$ ，则

\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} 1 - x^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2} t cos^{2} t d t = \frac{1}{8} [t - \frac{sin 4 t}{4}]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{32} .

因此 $I = \frac{3 π}{32} - \frac{3}{16} = \frac{3 ( π - 2 )}{32}$ 。