1994 · 数学三 · 第 3 题 · 填空题

设方程

e^{x y} + y^{2} = cos x

确定

y

为

x

的函数，则

\frac{d y}{d x} =

。

答案

$\frac{- sin x - y e ^{x y}}{x e ^{x y} + 2 y}$

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对 $e^{x y} + y^{2} = cos x$ 两边关于 $x$ 求导，得到

e^{x y} (y + x y^{'}) + 2 y y^{'} = - sin x .

整理含 $y^{'}$ 的项可得

(x e^{x y} + 2 y) y^{'} = - sin x - y e^{x y},

因而在 $x e^{x y} + 2 y \neq = 0$ 的点，隐函数定理适用，且

\frac{d y}{d x} = \frac{- sin x - y e ^{x y}}{x e ^{x y} + 2 y} .