$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 0& 2& -1\end{array}\right),P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}a+1& 0& 0\\ 0& a+1& 0\\ 0& 0& a-2\end{array}\right)$

$a^2(a-3)$

矩阵 $A-aI$ 作用在 $v_1=(1,1,0{)}^T$、$v_2=(1,-1,2{)}^T$、$v_3=(1,-1,-1{)}^T$ 上的特征值分别为 $1,1,-2$。

取这三个特征向量为列，得到

，于是 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(a+1,a+1,a-2)$。

由上一问，$A-E$ 的特征值为 $a,a,a-3$。

因此 $|A-E|=a^2(a-3)$。