1994 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

设常数

λ > 0

，且级数

n = 1 \sum \infty a_{n}^{2}

收敛，则级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{∣ a _{n} ∣}{n ^{2} + λ}

（　　）。

答案

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由柯西不等式，

n = 1 \sum \infty \frac{∣ a _{n} ∣}{n ^{2} + λ} \leq (n = 1 \sum \infty a_{n}^{2})^{\frac{1}{2}} (n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + λ})^{\frac{1}{2}} .

右侧两因子均有限，因此原级数绝对收敛，选择 C。