2008 · 数学三 · 第 23 题 · 解答题

设某企业生产线上产品合格率为

0.96

，不合格产品中只有

\frac{3}{4}

产品可进行再加工，且再加工合格率为

0.8

，其余均为废品。每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？

答案

每天至少生产 $256$ 件产品。

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初次合格的概率为 $0.96$ ，不合格但可再加工且再加工合格的概率为 $0.04 \times \frac{3}{4} \times 0.8 = 0.024$ 。

所以最终合格的概率为 $0.96 + 0.024 = 0.984$ ，成为废品的概率为 $1 - 0.984 = 0.016$ 。

每件产品的平均利润为

0.984 \times 80 - 0.016 \times 20 = 78.4 元 .

设每天生产 $n$ 件，则每天平均利润为 $78.4 n$ 元。要求 $78.4 n \geq 20000$ ，故

n \geq \frac{20000}{78.4} = \frac{12500}{49} \approx 255.10.

因为 $n$ 必须为整数，且 $255 \times 78.4 = 19992 < 20000$ ，所以每天至少生产 $256$ 件。