令 $v=\frac{y}{x}$，则 $y=xv$、$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$。代入原方程得 $x{v}^{\prime }=-\frac{1}{2}{v}^3$。

由初值 $v(1)=1$，分离变量并积分：$\frac{\mathrm{d}v}{v^3}=-\frac{\mathrm{d}x}{2x}$，从而 $\frac{1}{v^2}=\ln x+1$。

初值选取正分支，故 $v=(1+\ln x{)}^{-\frac{1}{2}}$，于是 $y=\frac{x}{\sqrt{1+\ln x}}$。该特解在包含 $x=1$ 的局部区间内满足 $x>0$ 且 $1+\ln x>0$。