1995 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设单位质点在水平面内作直线运动，以初始运动方向为正方向，初速度

v (0) = v_{0} > 0

。质点所受水平方向的力只有阻力，阻力方向与速度相反，大小与速率成正比，比例常数为

1

，时间

t \geq 0

。

答案

$ln 3$

$\frac{2 v _{0}}{3}$

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质点质量为 $1$ ，阻力与速度反向且大小等于速率，因此带符号的阻力为 $- v$ 。由牛顿第二定律，

\frac{d v}{d t} = - v, v (0) = v_{0} > 0.

解得 $v (t) = v_{0} e^{- t} > 0$ 。令 $v (t) = \frac{v _{0}}{3}$ ，由于 $v_{0} > 0$ ，可约去 $v_{0}$ ，得到唯一时刻

t = ln 3.

由上一问，达到该速度的时刻为 $t = ln 3$ ，且这段时间内速度始终为正，因此路程等于速度的积分。

s = \int_{0}^{l n 3} v_{0} e^{- t} d t = v_{0} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2 v _{0}}{3} .