区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称：对固定的 $x\in [0,1]$，其对应的 $y$ 范围是 $[-\sqrt{x},\sqrt{x}]$。

因为 $f$ 是奇函数，且 $g(x)$ 对固定的 $x$ 是常数，所以 $f(y)g(x)$ 关于 $y$ 是奇函数。

因此

再对 $x$ 从 0 到 1 积分，得到

所以正确选项为 A。