2008 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

计算曲线积分

\int_{L} sin 2 x d x + 2 (x^{2} - 1) y d y

，其中

L

是曲线

y = sin x

上从点

(0, 0)

到点

(π, 0)

的一段。

答案

$- \frac{π ^{2}}{2}$

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令 $x$ 为参数，则 $y = sin x$ 、 $d y = cos x d x$ ，参数范围为 $0 \leq x \leq π$ 。

积分化为

I = \int_{0}^{π} [sin 2 x + 2 (x^{2} - 1) sin x cos x] d x = \int_{0}^{π} x^{2} sin 2 x d x .

分部积分得

\int_{0}^{π} x^{2} sin 2 x d x = [- \frac{x ^{2} cos 2 x}{2} + \frac{x sin 2 x}{2} + \frac{cos 2 x}{4}]_{0}^{π} = - \frac{π ^{2}}{2} .