1990 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为

0.2

，乙的命中率为

0.5

。以

X

和

Y

分别表示甲和乙的命中次数，求

X

和

Y

的联合概率分布。

答案

$P {X = i, Y = j} = (i 2) (0.2)^{i} (0.8)^{2 - i} (j 2) (0.5)^{2}, i, j = 0, 1, 2$ ；以行对应 $i = 0, 1, 2$ 、列对应 $j = 0, 1, 2$ ，联合概率矩阵为 $\frac{4}{25} \frac{2}{25} \frac{1}{100} \frac{8}{25} \frac{4}{25} \frac{1}{50} \frac{4}{25} \frac{2}{25} \frac{1}{100}$

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甲、乙各自的两次射击独立，因此

X \sim B (2, 0.2), Y \sim B (2, 0.5) .

又因甲、乙的射击相互独立，随机变量 $X, Y$ 也相互独立。

故对 $i, j \in {0, 1, 2}$ ，

P {X = i, Y = j} = (i 2) (0.2)^{i} (0.8)^{2 - i} (j 2) (0.5)^{j} (0.5)^{2 - j} .

联合分布表为

| $X \ Y$ | $0$ | $1$ | $2$ ||---:|---:|---:|---:|| $0$ | $\frac{4}{25}$ | $\frac{8}{25}$ | $\frac{4}{25}$ || $1$ | $\frac{2}{25}$ | $\frac{4}{25}$ | $\frac{2}{25}$ || $2$ | $\frac{1}{100}$ | $\frac{1}{50}$ | $\frac{1}{100}$ |