系数矩阵在向量 $(1,1,1{)}^T$ 上的特征值为 $a+2$，在分量和为零的二维子空间上的特征值为 $a-1$。右端向量 $(1,1,-2{)}^T$ 的分量和为零。

若 $a=-2$，零空间由 $(1,1,1{)}^T$ 张成，而右端与该向量正交，方程相容且有自由变量，故有无穷多解。若 $a=1$，矩阵的值域仅为 $(1,1,1{)}^T$ 的张成空间，右端不在其中，方程无解。因此 $a=-2$。