把级数写为

由 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{z^n}{n}=-\ln (1-z)$（$|z|<1$），收敛半径为 2，且在 $|x|<2$ 时

当 $x=2$ 时，通项组成 $2\sum \frac{1}{n}$，发散；当 $x=-2$ 时，级数为 $2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$，收敛且和为 $2\ln 2$，与上式在 $x=-2$ 的值一致。

故收敛域为 $[-2,2)$，在该收敛域上的和函数为 $S(x)=-x\ln (1-\frac{x}{2})$。