1991 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设函数

f (x) = 2 + ∣ x ∣

（

- 1 \leq x \leq 1

）以

2

为周期延拓。

答案

$f (x) = \frac{5}{2} - \frac{4}{π ^{2}} k = 0 \sum \infty \frac{cos (( 2 k + 1 ) π x )}{( 2 k + 1 ) ^{2}}$

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$

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函数为偶函数，故 $b_{n} = 0$ 。按半周期 $l = 1$ 计算得 $a_{0} = 2 \int_{0}^{1} (2 + x) d x = 5$ 。

对 $n \geq 1$ ，

a_{n} = 2 \int_{0}^{1} (2 + x) cos (nπ x) d x = \frac{2 (( - 1 ) ^{n} - 1 )}{n ^{2} π ^{2}} .

因此偶数指标的系数为零，奇数指标的系数为 $- \frac{4}{( n ^{2} π ^{2} )}$ ，从而得到

f (x) = \frac{5}{2} - \frac{4}{π ^{2}} k = 0 \sum \infty \frac{cos (( 2 k + 1 ) π x )}{( 2 k + 1 ) ^{2}} .

周期延拓在端点连续，级数在各点收敛到 $f (x)$ 。

在第一问的展开式中令 $x = 0$ ，由 $f (0) = 2$ 得 $k = 0 \sum \infty (2 k + 1)^{- 2} = \frac{π ^{2}}{8}$ 。

设 $S = n = 1 \sum \infty n^{- 2}$ 。偶数项和为 $\frac{S}{4}$ ，故奇数项和为 $\frac{3 S}{4}$ 。于是 $\frac{3 S}{4} = \frac{π ^{2}}{8}$ ，即 $S = \frac{π ^{2}}{6}$ 。