$f(0,0)=1$。沿 $x$ 轴，$f(x,0)={\mathrm{e}}^{|x|}$，故 $f_x^{\prime }(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{|h|}-1}{h}$；右、左极限分别为 $1$ 和 $-1$，该偏导数不存在。

沿 $y$ 轴，$f(0,y)={\mathrm{e}}^{y^2}$，故 $f_y^{\prime }(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{h^2}-1}{h}=0$，存在。因此选项为 C。