令 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$、$B=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$，其列空间分别记为 $U,V$。题设等价于 $U⊊V$，因而必须有 $r(A)<r(B)\le 3$。特别地，$A$ 必须奇异。

直接展开得

对 $B$ 作第三列减第二列，有

所以只需检查 $a=1$ 与 $a=-2$。

当 $a=1$ 时，第一组的三个向量均为 $(1,1,1{)}^T$，故 $r(A)=1$；而 $\det B=-9\ne 0$，所以 $V={\mathbb{R}}^3$。因此 $U⊊V$，符合题意。

当 $a=-2$ 时，$\det A=0$，且其左上角二阶子式为 $-3\ne 0$，故 $r(A)=2$。此时 ${\beta }_2=-2{\beta }_1$，而 ${\beta }_3=(-2,-2,-2{)}^T$ 与 ${\beta }_1=(1,1,-2{)}^T$ 线性无关，故 $r(B)=2$。两个二维空间不可能有严格包含关系，故此值不符合题意。综上，所求常数仅为 $a=1$。