2018 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

已知随机变量

X, Y

相互独立，且

P (X = 1) = P (X = - 1) = \frac{1}{2}

，

Y

服从参数为

λ

的泊松分布，令

Z = X Y

。

(1) 求 $Cov (X, Z)$ ；
(2) 求 $Z$ 的概率分布。

答案

第 1 问

$λ$

第 2 问

P {Z = k} = ⎩ ⎨ ⎧ e^{- λ}, \frac{λ ^{∣ k ∣} e ^{- λ}}{2∣ k ∣ !}, k = 0, k = \pm 1, \pm 2, \dots .

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第 1 问

$X$ 等概率取 $1, - 1$ ，故 $E (X) = 0$ 且 $X^{2} = 1$ 。又 $E (Y) = λ$ ，由独立性 $E (Z) = E (X) E (Y) = 0$ 。利用 $X Z = X^{2} Y = Y$ ，得

Cov (X, Z) = E (X Z) - E (X) E (Z) = E (Y) - 0 = λ .

其中 $E (X Z) = E (Y)$ 来自恒等关系，本身不需要另行使用独立性。

第 2 问

$Y$ 取非负整数而 $X = \pm 1$ ，故 $Z$ 取整数。按 $X$ 的取值用全概率公式，再利用独立性，得到

P {Z = k} = \frac{1}{2} P {Y = k} + \frac{1}{2} P {Y = - k} .

当 $k \geq 1$ 时第二项为零，得 $\frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{( 2 k !)}$ ；当 $k \leq - 1$ 时第一项为零，得 $\frac{λ ^{- k} e ^{- λ}}{[ 2 ( - k )!]}$ 。当 $k = 0$ 时两项都要保留，和为 $e^{- λ}$ 。因此

P {Z = k} = ⎩ ⎨ ⎧ e^{- λ}, \frac{λ ^{∣ k ∣} e ^{- λ}}{2∣ k ∣ !}, k = 0, k = \pm 1, \pm 2, \dots .

归一性为

k \in Z \sum P {Z = k} = e^{- λ} + 2 k = 1 \sum \infty \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{2 k !} = e^{- λ} + e^{- λ} (e^{λ} - 1) = 1.