当 $x\to +\infty$ 时，令 $u=\frac{1}{x}\to 0^{+}$，则

所以有水平渐近线 $y=1$。

当 $x\to 0^{+}$ 时，$|x\sin (\frac{1}{x})|\le x\to 0$，函数不趋于无穷，故 $x=0$ 不是铅直渐近线；在定义域内部函数连续，也无其他铅直渐近线。因此选 A。