$g(x)=f(0)+[f(1)-f(0)]x$ 表示连接曲线端点 $(0,f(0))$ 与 $(1,f(1))$ 的弦所在直线，曲线与弦的相对位置应由凹凸性判断。
当 $f^{\prime \prime }\ge 0$ 时，令 $\phi =f-g$，则 $\phi (0)=\phi (1)=0$，${\phi }^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }\ge 0$，所以 ${\phi }^{\prime }$ 单调不减。若某个 $c\in (0,1)$ 满足 $\phi (c)>0$，分别在 $[0,c]$ 与 $[c,1]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 ${\xi }_1\in (0,c)$、${\xi }_2\in (c,1)$，使

这与 ${\xi }_1<{\xi }_2$、${\phi }^{\prime }$ 单调不减矛盾。因此 $\phi \le 0$，即 $f(x)\le g(x)$，D 正确。
排除其余选项：取 $f(x)=x^2$，则在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime }\ge 0$、$f^{\prime \prime }>0$，且 $g(x)=x$；在 $x=\frac{1}{2}$ 处 $f=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=g$，所以 A、C 均不成立。取 $f(x)=2x-x^2$，则 $f^{\prime }=2-2x\ge 0$，仍有 $g(x)=x$，但在 $x=\frac{1}{2}$ 处 $f=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}=g$，故 B 不成立。选 D。