2015 · 数学一 · 第 6 题 · 选择题

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

在正交变换

x = P y

下的标准形为

2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

，其中

P = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

。若

Q = (e_{1}, - e_{3}, e_{2})

，则在正交变换

x = Q y

下的标准形为（　　）。

A
$2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$
正确答案
B
$2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$
C
$2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$
D
$2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$

答案

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设二次型矩阵为 $A$ 。由 $P$ 正交且原标准形为 $2 y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ，得 $P^{T} A P = diag (2, 1, - 1)$ ，等价于 $A P = P diag (2, 1, - 1)$ 。按列比较， $A e_{1} = 2 e_{1}, A e_{2} = e_{2}, A e_{3} = - e_{3}$ 。
$Q = (e_{1}, - e_{3}, e_{2})$ 的列仍是标准正交组，所以 $Q$ 也正交。其第二列满足 $A (- e_{3}) = e_{3} = (- 1) (- e_{3})$ ，对应特征值仍为 $- 1$ ，不会因为向量变号而变成 $1$ 。因此

Q^{T} A Q = diag (2, - 1, 1) .

新标准形为 $2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$ ，选 A。B 没有随列交换调整系数顺序；C、D 则改变了正负系数的个数，均不符合正交变换保持特征值的性质。