2018 · 数学三 · 第 14 题 · 填空题

已知事件

A, B, C

相互独立，且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

，则

P (A \cap C ∣ A \cup B) =

。

答案

$\frac{1}{3}$

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因为 $A C \subseteq A \subseteq A \cup B$ ，所以 $A C \cap (A \cup B) = A C$ 。三事件相互独立蕴含 $A, C$ 独立及 $A, B$ 独立，因此

P (A C) = P (A) P (C) = \frac{1}{4},

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0.

代入条件概率定义，得

P (A C ∣ A \cup B) = \frac{P ( A C )}{P ( A \cup B )} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} .

分母也可由补事件求出： $P (A \cup B) = 1 - P (A B) = 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}$ 。分子不能误写成 $P (A C) P (A \cup B)$ ，因为两个事件并不独立。

将三个独立事件分别看作三枚独立均匀硬币的正面事件，八个结果等可能。 $A \cup B$ 包含前两枚至少一枚正面的六个结果，其中 $A C$ 包含第一、第三枚为正面的两个结果，故条件概率为 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。