2000 · 数学一 · 第 14 题 · 解答题

设对于半空间

x > 0

内任意的光滑有向封闭曲面

S

，都有

\iint_{S} x f (x) d y d z - x y f (x) d z d x - e^{2 x} z d x d y = 0

，其中函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内具有连续的一阶导数，且

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

，求

f (x)

。

答案

$f (x) = \frac{e ^{2 x} - e ^{x}}{x}$

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把被积式视为向量场 $P = x f (x)$ 、 $Q = - x y f (x)$ 、 $R = - e^{2 x} z$ 的通量。由高斯公式及任意封闭曲面的通量均为零，其散度在 $x > 0$ 内恒为零。

计算散度得

f (x) + x f^{'} (x) - x f (x) - e^{2 x} = 0,

即 $x f^{'} + (1 - x) f = e^{2 x}$ 。乘以积分因子对应的形式后，有

(x e^{- x} f (x))^{'} = e^{x} .

积分得 $x e^{- x} f (x) = e^{x} + C$ ，即 $f (x) = \frac{( e ^{2 x} + C e ^{x} )}{x}$ 。为使 $x \to 0^{+}$ 时极限有限，须有 $C = - 1$ ；此时极限恰为 $1$ 。故

f (x) = \frac{e ^{2 x} - e ^{x}}{x} .