2018 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

（1）建立面积与动点横坐标的关系。设 $P = (x, \frac{4 x ^{2}}{9})$ ，在所求时刻附近有 $x > 0$ 。所围区域的边界是线段 $O A$ 、线段 $A P$ 及从 $P$ 到 $O$ 的抛物线弧。为区分积分变量与动点横坐标，记积分变量为 $X$ 。直线 $A P$ 的方程为 $Y = 1 + (\frac{4 x ^{2}}{9} - 1) \frac{X}{x}$ 。当 $0 \leq X \leq x$ 时，直线与抛物线的纵坐标之差为

1 + \frac{\frac{4 x ^{2}}{9} - 1}{x} X - \frac{4}{9} X^{2} = (x - X) (\frac{1}{x} + \frac{4}{9} X) \geq 0,

因此直线为上边界，抛物线为下边界，面积为

S (x) = \int_{0}^{x} 1 + \frac{\frac{4 x ^{2}}{9} - 1}{x} X - \frac{4}{9} X^{2} d X = x + \frac{\frac{4 x ^{2}}{9} - 1}{x} \frac{x ^{2}}{2} - \frac{4 x ^{3}}{27} = \frac{x}{2} + \frac{2 x ^{3}}{27} .

也可作几何分解：三角形 $O A P$ 的底 $O A = 1$ 、高为 $x$ ，面积为 $\frac{x}{2}$ ；弦 $O P$ 的方程为 $Y = \frac{4 x X}{9}$ ，它与抛物线之间的弓形面积为

\int_{0}^{x} (\frac{4}{9} x X - \frac{4}{9} X^{2}) d X = \frac{4}{9} (\frac{x ^{3}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}) = \frac{2 x ^{3}}{27} .

两部分相加同样得到 $S (x) = \frac{x}{2} + \frac{2 x ^{3}}{27}$ 。

（2）用链式法则求时间变化率。动点横坐标是时间的函数 $x = x (t)$ ，所以

\frac{d S}{d t} = \frac{d S}{d x} \frac{d x}{d t} = (\frac{1}{2} + \frac{2}{9} x^{2}) \frac{d x}{d t} .

当 $P = (3, 4)$ 时， $x = 3$ ，沿 $x$ 轴正向的速度为 $\frac{d x}{d t} = 4$ 。代入得 $\frac{d S}{d t} = (\frac{1}{2} + 2) \times 4 = 10$ ，即此时面积每单位时间增加 $10$ 个面积单位。

答案