题给边缘分布均为 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，且二维正态的相关系数为 $0$。此时联合密度可分解为

所以 $X,Y$ 独立，进而 $X$ 与 $Y^2$ 独立。正态分布各阶矩存在，因此

又 $E(X)=\mu$，且 $E(Y^2)=\mathrm{Var}(Y)+[E(Y){]}^2={\sigma }^2+{\mu }^2$，故所求为 $\mu ({\sigma }^2+{\mu }^2)$。这里由不相关推出独立依赖二维正态这一前提，不能对一般随机变量照搬。