当 $x>1$ 时，$(1+x)\ln x>0$，故原不等式等价于

设 $g(x)=(1+x)\ln (1+x)-x\ln x$。则

因此 $g$ 在 $(1,+\infty )$ 上严格递增，且 $g(x)>g(1)=2\ln 2>0$。所以 $\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$。