1997 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

求极限

x \to 0 lim [\frac{a}{x} - (\frac{1}{x ^{2}} - a^{2}) ln (1 + a x)]

（

a \neq = 0

）。

答案

$\frac{a ^{2}}{2}$

当 $x \to 0$ 时，

ln (1 + a x) = a x - \frac{a ^{2} x ^{2}}{2} + \frac{a ^{3} x ^{3}}{3} + O (x^{4}) .

在足够小的邻域内 $1 + a x > 0$ ，故展开在极限两侧均适用。

于是

(\frac{1}{x ^{2}} - a^{2}) ln (1 + a x) = \frac{a}{x} - \frac{a ^{2}}{2} + O (x) .

与首项 $\frac{a}{x}$ 相消后，极限为 $\frac{a ^{2}}{2}$ 。