（1）确定内外两层所用分支。因 $e>1$，内层 $f(e)=\ln \sqrt{e}=\frac{1}{2}<1$。在 $1<x<e^2$ 内，$f(x)=\frac{1}{2}\ln x\in (0,1)$，故外层始终使用 $f(u)=2u-1$。
（2）该邻域内 $y=f(f(x))=2\cdot \frac{1}{2}\ln x-1=\ln x-1$，所以 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$，代入 $x=e$，得到 $y^{\prime }(e)=\frac{1}{e}$。外层分支由内层值决定，不能因为 $e>1$ 就让两层都用对数支。

用链式法则，$y^{\prime }(e)=f^{\prime }(f(e))f^{\prime }(e)$。内层 $f(e)=\frac{1}{2}$，在 $e$ 处用对数支，导数 $f^{\prime }(e)=\frac{1}{(2e)}$；外层在 $\frac{1}{2}<1$ 处用线性支，$f^{\prime }(\frac{1}{2})=2$。两点均不在分界点，求导合法，故 $y^{\prime }(e)=2\cdot \frac{1}{(2e)}=\frac{1}{e}$。