令 $u=\ln \frac{b}{a}>0$，则 $b=a{\mathrm{e}}^u$，从而 $\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{u}{a({\mathrm{e}}^u-1)}$。

左端不等式等价于 $u(1+{\mathrm{e}}^{2u})>2({\mathrm{e}}^u-1)$。由于 $1+{\mathrm{e}}^{2u}>2{\mathrm{e}}^u$ 且 $1-{\mathrm{e}}^{-u}<u$，有 $u(1+{\mathrm{e}}^{2u})>2u{\mathrm{e}}^u>2({\mathrm{e}}^u-1)$。

右端不等式等价于 $u<{\mathrm{e}}^{\frac{u}{2}}-{\mathrm{e}}^{-\frac{u}{2}}=2\sinh \frac{u}{2}$，而 $\sinh v>v$（$v>0$），故该不等式也成立。