2012 · 数学一 · 第 9 题 · 填空题

若函数

f (x)

满足

f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0

及

f^{''} (x) + f (x) = 2 e^{x}

，则

f (x) =

。

答案

$f (x) = e^{x}$ 。

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（1）由第一个齐次方程，特征方程为 $r^{2} + r - 2 = (r - 1) (r + 2) = 0$ ，得到 $f = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x}$ 。
（2）求导得 $f^{'} = C_{1} e^{x} - 2 C_{2} e^{- 2 x}$ 、 $f^{''} = C_{1} e^{x} + 4 C_{2} e^{- 2 x}$ ，代入第二个条件，得

f^{''} + f = 2 C_{1} e^{x} + 5 C_{2} e^{- 2 x} = 2 e^{x} .

$e^{x}$ 与 $e^{- 2 x}$ 的比值 $e^{3 x}$ 非常数，所以线性无关，比较系数得 $2 C_{1} = 2, 5 C_{2} = 0$ ，即 $C_{1} = 1, C_{2} = 0$ ，因此 $f (x) = e^{x}$ 。
（3）核对： $f = f^{'} = f^{''} = e^{x}$ ，所以 $f^{''} + f^{'} - 2 f = 0$ 、 $f^{''} + f = 2 e^{x}$ ，两个条件同时满足。

（1）用第二式减第一式消去二阶导数，得到 $3 f - f^{'} = 2 e^{x}$ ，即一阶线性方程 $f^{'} - 3 f = - 2 e^{x}$ 。
（2）乘积分因子 $e^{- 3 x}$ ，得 $(e^{- 3 x} f)^{'} = - 2 e^{- 2 x}$ 。积分得到 $e^{- 3 x} f = e^{- 2 x} + C$ ，所以 $f = e^{x} + C e^{3 x}$ 。
（3）相减得到的方程只是必要条件，还须代回原方程。代入第一式得 $C (9 + 3 - 2) e^{3 x} = 10 C e^{3 x} = 0$ ，故 $C = 0$ 。因此 $f = e^{x}$ ，代入第二式亦得 $f^{''} + f = 2 e^{x}$ ，符合题意。