1988 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

已知级数

n = 1 \sum \infty a_{n}^{2}

和

n = 1 \sum \infty b_{n}^{2}

都收敛，试证明级数

n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n}

绝对收敛。

答案

证明见解析

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由 $(∣ a_{n} ∣ - ∣ b_{n} ∣)^{2} \geq 0$ 得 $2∣ a_{n} b_{n} ∣ \leq a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ 。

对任意 $N$ ，有 $n = 1 \sum N ∣ a_{n} b_{n} ∣ \leq \frac{1}{2} n = 1 \sum N a_{n}^{2} + \frac{1}{2} n = 1 \sum N b_{n}^{2}$ 。题设右端两个级数均收敛，故左端部分和有统一上界且单调增加，从而 $n = 1 \sum \infty ∣ a_{n} b_{n} ∣$ 收敛。

因此 $n = 1 \sum \infty a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。