（1）特征方程为 $r^2-2ar+a+2=0$，判别式为 $\Delta =4(a-2)(a+1)$。“任一解”的反常积分均收敛，等价于每个基本解的反常积分均收敛。
若实根为 $r$，基本解 ${\mathrm{e}}^{rx}$ 的积分收敛当且仅当 $r<0$；$r=0$ 时是常数解，$r>0$ 时指数增长，积分均发散。若为重根，还需考虑 $x{\mathrm{e}}^{rx}$，在 $r<0$ 时它也绝对可积，且积分为 $\frac{1}{r^2}$。
若为共轭根 $\alpha \pm \beta \mathrm{i}$（取 $\beta >0$），基本解为 ${\mathrm{e}}^{\alpha x}\cos \beta x$、${\mathrm{e}}^{\alpha x}\sin \beta x$。$\alpha <0$ 时绝对值不超过 ${\mathrm{e}}^{\alpha x}$，由比较判别法均绝对可积。$\alpha =0$ 时，余弦的截断积分为 $\frac{\sin (\beta A)}{\beta }$，无极限。$\alpha >0$ 时则有

沿 $A=\frac{2n\pi }{\beta }$ 与 $A=(2n+1)\frac{\pi }{\beta }$，该式分别趋于正、负无穷，故发散。这里必须检查积分极限，不能仅凭被积函数无界就断言反常积分发散。
因此所求条件恰为两个特征根的实部均为负。
（2）实系数二次方程的两根实部均为负，当且仅当根的和为负、积为正：实根时这保证两根同为负数；复根时和为实部的两倍，积为模的平方。由韦达定理，条件成为 $2a<0$ 且 $a+2>0$，解得 $-2<a<0$，选 C。
（3）分情况核对：$-2<a<-1$ 时有两个负实根；$a=-1$ 时为二重负根 $-1$，基本解 ${\mathrm{e}}^{-x},x{\mathrm{e}}^{-x}$ 均可积；$-1<a<0$ 时复根的实部为 $a<0$。端点 $a=-2$ 有零根及常值解 $1$，积分发散；$a=0$ 有解 $\cos (\sqrt{2}x)$，积分发散，所以两端均不能取。
当 $a<-2$ 时根的积为负，必有正根；当 $a>0$ 时根的和为正，不可能两根实部均负。因此范围没有遗漏。
（4）A 漏掉 $(-1,0)$，如 $a=-\frac{1}{2}$ 时特征根为 $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{5}\mathrm{i}}{2}$，积分仍收敛。B、D 均含 $a=-3$，此时正根 $-3+\sqrt{10}$ 对应的指数解积分发散，故不能选。