1990 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

求微分方程

y^{'} + y cos x = (ln x) e^{- s i n x}

的通解。

答案

$y = (x ln x - x + C) e^{- s i n x}, x > 0$

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因 $ln x$ 要求 $x > 0$ 。方程的积分因子为

μ (x) = e^{\int c o s x d x} = e^{s i n x} .

方程两边乘以该积分因子，得到

(y e^{s i n x})^{'} = ln x .

积分后有 $y e^{s i n x} = x ln x - x + C$ 。

故通解为

y = (x ln x - x + C) e^{- s i n x}, x > 0.