只含偶次幂且分母为 $(2n)!$，可以将 ${\mathrm{e}}^x$ 与 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 的展开相加，消去奇次项。对所有 $x\in \mathbb{R}$，

$${\mathrm{e}}^x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!},{\mathrm{e}}^{-x}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^k}{k!}.$$

两个级数都绝对收敛，故可以逐项相加。奇数 $k$ 时 $1+(-1{)}^k=0$，偶数 $k$ 时 $1+(-1{)}^k=2$，因此

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}& =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1+(-1{)}^k}{k!}{x}^k\\ & =2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}.\end{array}$$

两边除以 $2$，得

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}=\cosh x.$$

也可令 $t=x^2$，考察幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{t^n}{(2n)!}$：相邻系数绝对值之比为 $(2n+2)(2n+1)\to +\infty$，故其收敛半径无穷，原式对所有实数 $x$ 都成立。特别地，$x=0$ 时两边均为 $1$；$x=2$ 时两边约为 $3.7622$。