1992 · 数学一 · 第 21 题 · 填空题

设随机变量

X

服从参数为

1

的指数分布，则数学期望

E (X + e^{- 2 X}) =

。

答案

$\frac{4}{3}$

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参数为 $1$ 的指数分布密度为 $f_{X} (x) = e^{- x}$ （ $x > 0$ ），且 $E (X) = 1$ 。

又

E (e^{- 2 X}) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} e^{- x} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- 3 x} d x = \frac{1}{3} .

由期望的线性性，

E (X + e^{- 2 X}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} .