1995 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设

f (x)

、

g (x)

在区间

[- a, a]

（

a > 0

）上连续，

g (x)

为偶函数，且

f (x) + f (- x) = A

（

A

为常数）。

(1) 证明 $\int_{- a}^{a} f (x) g (x) d x = A \int_{0}^{a} g (x) d x$ ；
(2) 利用上一问的结论计算定积分 $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} ∣ sin x ∣ arctan e^{x} d x$ 。

答案

证明见解析

$\frac{π}{2}$

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记 $I = \int_{- a}^{a} f (x) g (x) d x$ 。作换元 $x = - t$ ，并利用 $g$ 为偶函数，得到

I = \int_{- a}^{a} f (- x) g (x) d x .

将两式相加并使用 $f (x) + f (- x) = A$ ，

2 I = A \int_{- a}^{a} g (x) d x = 2 A \int_{0}^{a} g (x) d x .

因而

I = A \int_{0}^{a} g (x) d x .

取 $f (x) = arctan e^{x}$ 、 $g (x) = ∣ sin x ∣$ 。由于 $e^{x} > 0$ ，

f (x) + f (- x) = arctan e^{x} + arctan e^{- x} = \frac{π}{2} .

且 $g$ 为偶函数。

由上一问，

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} ∣ sin x ∣ arctan e^{x} d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = \frac{π}{2} .