对自然数 $n$，底数 $n\tan (\frac{1}{n})>0$。先考察数列的对数

当 $x\to 0$ 时，$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$，从而

取 $x=\frac{1}{n}$，得 $b_n\to \frac{1}{3}$。由指数函数的连续性，原极限为 ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{3}}$。