2001 · 数学二 · 第 2 题 · 填空题

设函数

y = f (x)

由方程

e^{2 x + y} - cos (x y) = e - 1

所确定，则曲线

y = f (x)

在点

(0, 1)

处的法线方程为。

答案

$y - 1 = \frac{1}{2} x$

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对方程两边关于 $x$ 求导，得

e^{2 x + y} (2 + y^{'}) + sin (x y) (y + x y^{'}) = 0.

在 $(0, 1)$ 处代入，得到 $e (2 + y^{'}) = 0$ ，所以切线斜率为 $- 2$ ，法线斜率为 $\frac{1}{2}$ 。因此法线为 $y - 1 = \frac{1}{2} x$ 。