${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2$ 对任意 $t$ 都不成比例，故它们线性无关。向量组秩为 $2$ 当且仅当存在常数 $c,d$ 使 ${\alpha }_3=c{\alpha }_1+d{\alpha }_2$。

比较第二、第四个分量均得到 $c=-2$；再比较第一个分量得 $0=-2+2d$，故 $d=1$。

比较第三个分量：$5=(-2)(-1)+t$，所以 $t=3$。此时 ${\alpha }_3=-2{\alpha }_1+{\alpha }_2$，秩确为 $2$。