奇函数在零点满足 $f(0)=-f(0)$，故 $f(0)=0$。题设二阶可导保证 $f$ 在 $[0,1]$ 连续、在 $(0,1)$ 可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{[f(1)-f(0)]}{(1-0)}=1$。

（1）目标中的 $f^{\prime \prime }+f^{\prime }-1$ 可以借指数因子凑成导数，令 $F(x)=e^x(f^{\prime }(x)-1)$，则 $F^{\prime }(x)=e^x[f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-1]$。指数因子非零，所以只需证明 $F^{\prime }$ 有零点。
（2）由奇函数恒等式 $f(-x)=-f(x)$ 求导得 $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$。沿用前问的 $\xi \in (0,1)$，有 $f^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(-\xi )=1$，故 $F(\xi )=F(-\xi )=0$。
（3）因为 $f$ 二阶可导，$f^{\prime }$ 可导且连续，故 $F$ 在 $[-\xi ,\xi ]$ 连续，在 $(-\xi ,\xi )$ 可导。由罗尔定理，存在 $\eta \in (-\xi ,\xi )\subset (-1,1)$，满足 $F^{\prime }(\eta )=0$。于是 $e^{\eta }[f^{\prime \prime }(\eta )+f^{\prime }(\eta )-1]=0$，除以非零的 $e^{\eta }$，得到 $f^{\prime \prime }(\eta )+f^{\prime }(\eta )=1$。