2015 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 - θ}, 0, θ \leq x \leq 1, 其他,

，其中

θ

为未知参数，

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为来自该总体的简单随机样本。

答案

$θ_{M} = 2 X - 1$ 。

$θ_{L} = min {X_{1}, \dots, X_{n}}$ （几乎必然）。

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密度要求 $θ < 1$ ，总体为 $U (θ, 1)$ 。其一阶矩为

E (X) = \frac{1}{1 - θ} \int_{θ}^{1} x d x = \frac{1 - θ ^{2}}{2 ( 1 - θ )} = \frac{1 + θ}{2} .

令总体一阶矩等于样本均值， $X = \frac{( 1 + θ )}{2}$ ，解得矩估计量

θ_{M} = 2 X - 1 = \frac{2}{n} i = 1 \sum n X_{i} - 1.

由于样本值小于 $1$ 几乎必然成立，该估计量也几乎必然小于 $1$ 。

给定观测值 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，记 $x_{(1)} = min_{i} x_{i}$ 、 $x_{(n)} = max_{i} x_{i}$ 。样本独立性给出

L (θ) = {(1 - θ)^{- n}, 0, θ \leq x_{(1)}, x_{(n)} \leq 1, θ < 1, 其他 .

通常样本满足 $x_{(1)} \leq x_{(n)} < 1$ ，故有正似然的参数范围是 $θ \leq x_{(1)}$ 。在该范围内， $L (θ) = (1 - θ)^{- n}$ 随 $θ$ 严格递增，最大值在允许的右端点 $θ = x_{(1)}$ 处取得。因此

θ_{L} = min {X_{1}, \dots, X_{n}} .

不能丢掉支撑约束再令 $θ \to 1$ 。若所有观测均恰为 $1$ ，则正参数范围内无最大点，这是概率为零的例外；估计公式的结论为几乎必然成立。