把 $A$ 写成列向量与行向量的乘积 $A={\alpha }^T\beta$。中间的标量为 $\beta {\alpha }^T=1+1+1=3$。

于是 $A^2={\alpha }^T(\beta {\alpha }^T)\beta =3A$。归纳可得，对正整数 $n$，$A^n=3^{n-1}A$。