1991 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

设随机变量

X

和

Y

在圆域

x^{2} + y^{2} \leq r^{2}

上服从联合均匀分布。

答案

$ρ = 0$

不独立

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联合密度在圆域内为 $\frac{1}{( π r ^{2} )}$ 。由关于两坐标轴的对称性， $E (X) = E (Y) = 0$ ，且 $E (X Y) = 0$ ，所以 $Cov (X, Y) = 0$ 。

同时 $D (X) = D (Y) = \frac{r ^{2}}{4} > 0$ ，故 $ρ = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )} = 0$ 。

第一问已得相关系数为零，但联合密度只在圆域 $x^{2} + y^{2} \leq r^{2}$ 内为正。两边缘密度在 $(- r, r)$ 内均为正。

例如在 $x = y = \frac{3 r}{4}$ 的邻域内，两边缘密度的乘积为正，但该点满足 $x^{2} + y^{2} = \frac{9 r ^{2}}{8} > r^{2}$ ，联合密度为零。因此联合密度不能分解为边缘密度之积， $X, Y$ 不独立。