1995 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

设函数

y = y (x)

由方程

x e^{f (y)} = e^{y}

确定，其中

f

具有二阶导数，且

f^{'} \neq = 1

，求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。

答案

$\frac{f ^{''} ( y ) - [ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{2}}{x ^{2} [ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{3}}$

由 $x e^{f (y)} = e^{y}$ 得 $ln x + f (y) = y$ 。一次求导有

\frac{1}{x} + f^{'} (y) y^{'} = y^{'}, y^{'} = \frac{1}{x [ 1 - f ^{'} ( y )]} .

再次求导 $\frac{1}{x} = [1 - f^{'} (y)] y^{'}$ ：

- \frac{1}{x ^{2}} = - f^{''} (y) (y^{'})^{2} + [1 - f^{'} (y)] y^{''} .

代入 $y^{'} = \frac{1}{[ x ( 1 - f ^{'} ( y ))]}$ 并整理，得到

y^{''} = \frac{f ^{''} ( y ) - [ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{2}}{x ^{2} [ 1 - f ^{'} ( y ) ] ^{3}} .