当 $x\to 0$ 时，分子为 $ax+\frac{b}{2}{x}^2+O(x^3)$，分母为 $-2cx+(d-2c)x^2+O(x^3)$。

若 $c=0$，由 $a^2+c^2\ne 0$ 得 $a\ne 0$，此时分子最低为一次项而分母至多从二次项开始，不可能有有限极限 2。因此 $c\ne 0$。

比较一次项得 $-\frac{a}{2c}=2$，即 $a=-4c$，选择 D。