$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\\ 5\end{array}\right)\}$

当$a=-1$时，全部非零公共解为$c\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\\ 7\end{array}\right)$，其中$(c,d)\ne (0,0)$。

由第一式 $x_3=2x_1+3x_2$，再由第二式 $x_4=x_1+2x_2+x_3=3x_1+5x_2$。

令 $x_1=s,x_2=t$，则解向量为 $s(1,0,2,3{)}^T+t(0,1,3,5{)}^T$，故所列两向量构成一个基础解系。

设公共解为 $v=c{\alpha }_1+d{\alpha }_2$。由第一问，方程组①的解必须满足 $x_3=2x_1+3x_2$ 和 $x_4=3x_1+5x_2$。

代入 $v$ 后分别得到 $(a+1)c=0$ 与 $(a+1)d=0$。要有非零公共解，必须且只需 $a=-1$。

当 $a=-1$ 时，${\alpha }_1=(2,-1,1,1{)}^T$、${\alpha }_2=(-1,2,4,7{)}^T$，且二者均满足方程组①。因此全部非零公共解为 $c{\alpha }_1+d{\alpha }_2$，其中 $(c,d)\ne (0,0)$。