（1）对 $g(t)=\arctan t$ 在 $[x,x+1]$ 上使用拉格朗日中值定理。它在闭区间连续、开区间可导，所以存在 $\xi \in (x,x+1)$，使 $\arctan (x+1)-\arctan x=\frac{1}{(1+{\xi }^2)}$。
（2）当 $x>0$ 时可以平方保序，进而

左右两端都趋于 $1$，由夹逼准则，原极限为 $1$。中值点依赖于 $x$，不能未经说明直接把它替换成 $x$。

当 $x>0$ 时，两反正切之差落在 $(0,\frac{\pi }{2})$，由正切差角公式和反正切主值范围，得 $\arctan (x+1)-\arctan x=\arctan [\frac{1}{(x^2+x+1)}]$。令 $u=\frac{1}{(x^2+x+1)}\to 0^{+}$，利用 $\frac{\arctan u}{u}\to 1$，原式等于 $[\frac{\arctan u}{u}][\frac{x^2}{(x^2+x+1)}]\to 1\cdot 1=1$。