1989 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设

f (x) = sin x - \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

，其中

f

为连续函数，求

f (x)

。

答案

$\frac{1}{2} (sin x + x cos x)$

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对积分方程求导，由莱布尼茨公式得

f^{'} (x) = cos x - \int_{0}^{x} f (t) d t .

再求导得

f^{''} (x) + f (x) = - sin x .

由原方程及一次求导式在 $x = 0$ 处可得 $f (0) = 0$ ， $f^{'} (0) = 1$ 。微分方程的通解为

f (x) = C_{1} cos x + C_{2} sin x + \frac{x}{2} cos x .

代入初值，得 $C_{1} = 0$ ， $C_{2} = \frac{1}{2}$ 。所以

f (x) = \frac{1}{2} (sin x + x cos x) .