原级数的中心为 $-2$。在 $x=0$ 处对应 $|x+2|=2$ 且收敛，在 $x=-4$ 处对应 $|x+2|=2$ 且发散，所以收敛半径为 $R=2$。

新级数的中心为 $3$，内部收敛区间为 $|x-3|<2$。右端点 $x=5$ 对应原级数的收敛端点 $x=0$，应取入；左端点 $x=1$ 对应原级数的发散端点 $x=-4$，应排除。因此收敛域为 $1<x\le 5$。