令 $u=\sqrt{1-x^2}$，则 $x\mathrm{d}x=-u\mathrm{d}u$，且 $2-x^2=1+u^2$。

当 $x=0$ 时 $u=1$，当 $x=1$ 时 $u=0$，故原积分为 ${\int }_1^0-\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}$。

计算得 $\arctan u{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$。端点 $x=1$ 的根式奇性可积，代换适用于该反常积分。