旋转体体积为 $V=\pi {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x\mathrm{d}x$。

由 ${\cos }^{2}x=\frac{(1+\cos 2x)}{2}$，定积分为 $\frac{\pi }{2}$，故 $V=\frac{{\pi }^2}{2}$，选 C。