由 $z=u^v$ 得 $\ln z=v\ln u$，故在各表达式有定义处，$\mathrm{d}z=u^v\left(\frac{v}{u}\mathrm{d}u+\ln u\mathrm{d}v\right)$。

因为 $u=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)$，所以 $\mathrm{d}u=\frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$；又 $v=\arctan (\frac{y}{x})$，所以 $\mathrm{d}v=\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$。

代入即得